Algèbre linéaire I et II

Contenu

«L’algèbre n’est qu’une géométrie écrite;
la géométrie n’est qu’une algèbre figurée.»
Sophie Germain 

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéairesentre espaces vectoriels.  Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes.  Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application fd’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure.  Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques :  l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rⁿ des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel.  L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices.  Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rⁿ vers R^m ! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possibles de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie.

Horaire

• Cours: les lundis de 13h15 à 14h et les jeudis de 11h15 à 13h
• Exercices: les lundis de 14h15 à 16h
• Salles: CO/1 (cours lundi) et CE/6 (cours jeudi); CM/10, CM/121, CO/122 et CO/123 (exos)
• Réponses aux questions: les mardis de 13h à 14h dans la CE/101

Séance RAQ avant le propé: le jeudi 12 juin de 14h à 16h dans la CM/106

Programme

1. Ensembles et applications 
   • Eléments de la théorie des ensembles
2. Espaces vectoriels de dimension finie 
   • Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sous-espaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension
3. Applications linéaires 
   • Définition et exemples, noyau et image, isomorphismes, matrices associées aux applications linéaires
4. Matrices et systèmes d’équations linéaires 
   • Algorithme de Gauss-Jordan, inversion de matrices, un premier aperçu du déterminant
5. Produits scalaires 
   • Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projections orthogonales et meilleures approximations
6. Valeurs propres et vecteurs propres 
   • Sous-espaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales
7. Opérateurs sur espaces avec produit scalaire 
   • Fonctionnels linéaires et adjoints, opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries
8. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes 
   • Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan
9. La trace et le déterminant d’un opérateur complexe 
   • Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice

Bibliographie

• S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.
• K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.
• K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.
• S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
• R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.

Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.

Séries et corrigés

D’autres fichiers à télécharger

• Feuille d’informations générales
• Les nombres complexes et les polynômes (rappels utiles!)
• Compléments: ensembles et applications
• Travail écrit du 9 novembre 2007 (TE I)
• Corrigé du TE I
• L’algorithme de Gauss-Jordan
• Le déterminant: un bref survol
• Les notes de cours de Fabien Margairaz
• Comment définir le produit scalaire
• Travail écrit du 24 avril 2008 (TE II)
• Corrigé du TEII
• Propé de juillet 2007